微小回転と角速度 - how to code something

マルチボディダイナミクス〈1〉基礎理論　を参考に。
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$\dot {\vec r} = \vec \omega \times \vec r$
を示す。
上式はすなわち $\dfrac{\vec {\Delta r}}{\Delta t}=\dfrac{\vec{\Delta \theta}}{\Delta t} \times \vec r$ を意味するので、
$\vec{\Delta r} = \vec{\Delta \theta} \times \vec r$ を示したい。

まず、以下の設定を考える。
f:id:seinzumtode:20200511212435p:plain

上図で、以下が成り立つ。( $\vec u$ は単位ベクトル。 $|\vec u| = 1$ )
$\vec a = \vec{OU}+\vec{UH}+\vec{HQ}=(\vec b\cdot \vec u) \vec u+ \cos\theta \vec d + \sin\theta (\vec u \times \vec d)$ ...(1)
$\vec b = \vec{OU}+\vec{UP}=(\vec b\cdot \vec u )\vec u+\vec d$ ...(2)
(2)式の両辺に左からuを外積でかけると以下を得る。
$\vec u \times \vec b = \vec u \times \vec d$ ...(3)
(2)式と(3)を(1)に代入して $\vec d$ を消去する。
$\vec a = (\vec b \cdot \vec u)\vec u + \cos\theta(\vec b - (\vec b \cdot \vec u)\vec u) + \sin\theta(\vec u \times \vec b)$ ...(4)
いま、 $\theta \ll 1$ より、 $\sin\theta \approx \theta, \cos\theta \approx 1$ とすると、(4)式は
$\vec a = \vec b + \theta (\vec u \times \vec b)$ ...(5)

ここで、文字の表記を以下の図のように変更する。
f:id:seinzumtode:20200511214007p:plain
(5)式において、 $\vec a = \vec r + \vec {\Delta r}$ 、 $\vec b = \vec r$ 、 $\theta \vec u = \vec \Delta \theta$ とおくと、以下の式を得る。

$\vec r+\vec{\Delta r} = \vec r + (\vec{\Delta \theta}\times \vec r)$
すなわち、
$\vec{\Delta r} =\vec{\Delta \theta}\times \vec r$
よって、
$\dot {\vec r} = \vec \omega \times \vec r$