オイラー角といくつかの派生

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マルチボディダイナミクス〈1〉基礎理論 (コンピュータダイナミクスシリーズ)
4.4 回転の基本表現
4.4.2 回転変換 (1)オイラー角 (2) タイト・ブライヤン角 (3) ブライヤント角

を参照

座標の定義
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オイラー角（Z-X-Zオイラー角）

φ→θ→ψと回転する。
φ：歳差角（precession angle）
θ：章動角（nutation angle）
ψ：スピン角（spin angle）

$R=R_z(\psi)R_x(\theta)R_z(\phi)$
$=\begin{pmatrix} \cos\phi \cos\psi - \sin\phi\cos\theta\sin\psi & \sin\phi \cos\psi +\cos\phi\cos\theta\sin\psi & \sin\theta\sin\psi \\ -\cos\phi\sin\psi - \sin\phi \cos\theta\cos\psi & -\sin\phi\sin\psi +\cos\phi\cos\theta\cos\psi & \sin\theta\cos\psi \\ \sin\phi\sin\theta & -\cos\phi\sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$

タイト・ブライヤン（Tait-Bryan）角（Z-Y-Xオイラー角）

カルダン（Cardan）角ともいう。
ψ→θ→φと回転し、それぞれYaw-Pitch-Roll（YPR）になっている。

$R=R_x(\phi)R_y(\theta)R_z(\psi)$
$=\begin{pmatrix} \cos\psi \cos\theta & \sin\psi \cos\theta & -\sin\theta \\ -\sin\psi\cos\phi + \cos\psi \sin\theta\sin\phi & \cos\psi\cos\phi +\sin\psi\sin\theta\sin\phi & \cos\theta\sin\phi \\ \sin\psi\sin\phi + \cos\psi\sin\theta\cos\phi & -\cos\psi\sin\phi + \sin\psi\sin\theta\cos\phi & \cos\theta\cos\phi \end{pmatrix}$

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ブライヤント（Bryant）角（X-Y-Zオイラー角）

ψ→θ→φと回転する。
これがロールピッチヨーに対応するはず。

$R=R_z(\phi)R_y(\theta)R_x(\psi)$
$=\begin{pmatrix} \cos\theta \cos\phi & \cos\psi \sin\phi+\sin\psi\sin\theta\cos\phi & \sin\psi\sin\phi-\cos\psi\sin\theta\cos\phi \\ -\cos\theta\sin\phi & \cos\psi\cos\phi -\sin\psi\sin\theta\sin\phi & \sin\psi\cos\phi+\cos\psi\sin\theta\sin\phi \\ \sin\theta & -\sin\psi\cos\theta & \cos\psi\cos\theta \end{pmatrix}$