化学種の保存式、エネルギー方程式、運動方程式

DNS: Direct Numerical Simulation – モデル化を行わず、最小渦までメッシュで解像し、直接計算する – 計算コストが膨大になるため、研究目的を除いて実施されないLES: Large Eddy Simulation – 大きな渦は直接計算し、メッシュより小さな渦はモデル化 – 非定常な渦の変動などを解析できるが、計算コストは高いRANS: Reynolds Averaged Navier-Stokes – すべての大きさの渦をモデル化し、時間平均的な挙動を計算 – 低コスト・定常解析が可能だが、非定常解析には不向き

https://seinzumtode.hatenadiary.jp/entry/2020/08/19/161300

化学種の保存式

ml: 化学種の質量分率
\dfrac{\partial }{\partial t}(\rho m_l)+div(\rho u m_l+J_l)=R_l
質量変化率＋流束（対流＋拡散）の発散＝質量生成率

対流流束 \rho u m_l

拡散流束 J_l = -\Gamma_l grad m_l：フィックの法則

流束の発散
div J = \dfrac{\partial J_x}{\partial x}+\dfrac{\partial J_y}{\partial y}+\dfrac{\partial J_z}{\partial z}：単位体積あたりの正味流出量

[一般的な連続の式の表示]
\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+div(\rho u)=0
あるいは
\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla \cdot \rho u=0
➟これは拡散流束と化学種の生成を無視している

エネルギー方程式

（定常低速・粘性の消散を無視したエネルギー式）
div(\rho u h)=div(k\ \rm{grad} \ T)+S_h

div(k\ \rm{grad}\ T)：熱伝導のフーリエの法則に基づいた熱の移動量
S_h ：単位体積あたりの熱の発生量

[さらに理想気体・固体・液体の場合]
div(\rho u h)=div(\dfrac{k}{c}\ \rm{grad}\ h)+S_h

[さらに比熱比一定の場合]
div(\rho u T)=div(\dfrac{k}{c}\ \rm{grad}\ T)+\dfrac{S_h}{c}
（Tを従属変数にすることができる。もちろんhを従属変数にしても良い）

[さらに定常熱伝導の場合]
div(k\ \rm{grad}\ T)+S_h=0

運動方程式

\dfrac{\partial}{\partial t}(\rho u)+div (\rho u u )=div(\mu \rm{grad}\ u)-\dfrac{\partial p}{\partial x}+B_x+V_x

B_x：x方向の単位体積あたりの体積力
V_x：div(μ grad u)以外の粘性力

比較：N-S方程式の導出
[一般的な運動方程式]
\dfrac{D u}{Dt}=\rho K_x +\left( \dfrac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \dfrac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \dfrac{\partial \tau_{xz}}{\partial x}\right)
[Newton流体の構成方程式（面積力）]
面積力 P = - \rm{grad}\ p+\dfrac{1}{3}\rm{grad} \ div(u)+\mu \nabla^2 u
x方向で考えると、 P_x=-\dfrac{\partial p}{\partial x}+\dfrac{1}{3}\mu \dfrac{\partial }{\partial x} div (u)+\mu \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \dfrac{\partial u}{\partial x} + \dfrac{\partial u}{\partial y} + \dfrac{\partial u}{\partial z} \right)
[Newton流体の運動方程式]
\dfrac{\partial u}{\partial t}+(u \cdot \rm{grad}) u=K-\dfrac{1}{\rho}\rm{grad}\ p+\nu \nabla^2 u + \dfrac{1}{3}\nu \rm{grad}\ (div\ u)
[N-S方程式（Newton流体かつ圧縮性を無視。上記第4項が消える）]
\dfrac{\partial u}{\partial t}+(v\cdot \nabla)u = K - \dfrac{1}{\rho}\nabla p + \nu \nabla^2 u
[Eulerの運動方程式（N-S方程式における粘性による拡散項（上記第3項）を無視➟非粘性の解析に用いる）]
\dfrac{\partial u}{\partial t}+(v\cdot \nabla)u = K - \dfrac{1}{\rho}\nabla p
[ベルヌーイの式（Eulerの方程式を流線に沿って積分）]
\dfrac{|u|^2}{2}+\int \dfrac{d \rho}{\rho}+gz = \rm{const.}