コイルばねの伸び - how to code something

コイルばねのばね定数とせん断弾性係数の関係
$k=\dfrac{G d^4}{64n_e R^3}$
ばね定数を計測し、せん断弾性係数を求めてみる。

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Matlabのginput(2)を使ってばねの長さを測定する。

Ls = [];
for i=1:4
    fname = string(i)+'.png';
    im = imread(fname);
    imshow(im);
    [x,y,button]=ginput(2);
    L = y(2)-y(1);
    Ls = [Ls L];    
end

f:id:seinzumtode:20200903215251p:plain
これでピクセルでの相対距離は計測できた。

ipadの写真編集アプリのRulerでばねの自然長と直径を測定した。
f:id:seinzumtode:20200903214636p:plain

L = 42; % 42 mm
Ls = [0.9893    1.0694    1.1015    1.1455]; % distance by pixel
delta1 = (Ls(2)-Ls(1))/Ls(1)*L; %mm
delta2 = (Ls(3)-Ls(1))/Ls(1)*L; %mm
delta3 = (Ls(4)-Ls(1))/Ls(1)*L; %mm
deltas = [delta1 delta2 delta3];

Fs = [165 295 375]*0.00980665; %[N]

% plot(deltas,Fs,'o');
coef = polyfit(deltas,Fs,1);
%plot(deltas,polyval(coef,deltas));
k=coef(1); %[MPa] k=G*d^4/(64*ne*R^3);

ne = 16; % 16 times
R = 8; %8mm
G0 = 7.4*1e4; %[MPa]
d = 1.45; %1.45mm

G = 64*k*ne*R^3/d^4;
fprintf('original G: %.0f[GPa]\n',G0/1000);
fprintf('computed G: %.0f[GPa]\n',G/1000);

実行結果

original G: 74[GPa]
computed G: 74[GPa]

ばねの径d=1.45mmとすると、せん断弾性係数がステンレスのものと一致した。
Todo：実際のばねの径を計測してみる
追記：写真から計測してみたら、d=1.5mmくらいだったので、いい線いっている

さて、ばねに入力できる限界荷重を求める。
ねじりにおいては、せん断応力が降伏応力に達したときに降伏する。
コイルばねにおけるねじりによるせん断応力は、 $\tau_{max}=\dfrac{16PR}{\pi d^3}$ で計算する。

clear; close all; clc;

L = 42; % 42 mm
Ls = [0.9893    1.0694    1.1015    1.1455]; % distance by pixel
delta1 = (Ls(2)-Ls(1))/Ls(1)*L; %mm
delta2 = (Ls(3)-Ls(1))/Ls(1)*L; %mm
delta3 = (Ls(4)-Ls(1))/Ls(1)*L; %mm
deltas = [delta1 delta2 delta3];

Fs = [165 295 375]*0.00980665; %[N]

ne = 16; % 16 times
R = 8; %8mm
G = 7.4*1e4; %[MPa]
d = 1.45; %1.45mm
P = Fs(2); %N

tau_max = 16*P*R/(pi*d^3);

fprintf('tau_max: %.f[MPa]\n',tau_max);

実行結果

tau_max: 39[MPa]

ステンレス（SUS304）の降伏点：255[MPa]
www.jssa.gr.jp

よって、375(g) * (255/39) /9.8 = 1.93[kg]の荷重で降伏することがわかる。

疲労限度についても求める。
SUS304の引張強度が590Mpa。一般にステンレスの疲労限は引張強度の0.35~4倍で計算するとのこと。
mori.nc-net.or.jp
修正グッドマン線図は以下のようになる。

sigma_b = 590; %[Mpa]
sigma_w = 0.35*sigma_b; %[Mpa]
sigma = 0:sigma_b;
sigma_a = sigma_w*(1-sigma/sigma_b); %[Mpa]
plot(sigma,sigma_a);
title('goodman plot');
ylabel('Fatigue limit [MPa]');
xlabel('Average stress [MPa]');
big;

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片振りの条件 $\sigma_a=\sigma_m$ を代入して変形すると、 $\sigma_a = \dfrac{\sigma_w}{1+\dfrac{\sigma_w}{\sigma_b}}$
片振りの最大応力は2 x 平均応力なので、 $\sigma_{max} = 2\sigma_a= \dfrac{2\sigma_w}{1+\dfrac{\sigma_w}{\sigma_b}}$

sigma_max = 2*sigma_w/(1+sigma_w/sigma_b);
max_fatigue_load = Fs(2)*sigma_max/tau_max/9.8; %kg
fprintf('Max stress when failure: %.f[MPa]\n',sigma_max);
fprintf('Load when fatigue failure: %.f[kg]\n',max_fatigue_load);

実行結果

Max stress when failure: 306[MPa]
Load when fatigue failure: 2[kg]

疲労破壊するときの荷重は2kgとでた。これって上で計算した降伏のときの荷重と同じになっている。疲労限＝降伏点ということだけど、意外な結果だった。もう少し疲労限度は降伏点より下になると予想していた。