竹ひごの曲げ

直径3mmの竹ひごの曲げを調べる

竹ひごの長さは11.8mm

Matlabを使ってピクセルでの距離を求め、自然長からたわみを求める。

grams = [0 60 80];
ys = [];
for i=1:length(grams)
  fname = string(grams(i))+'gf.png';
  im = imread(fname);
  imshow(im);
  [x,y,button]=ginput(1);
  ys = [ys y];    
end

実際の変位からヤング率を求めてみる

% acquired value
dx = 2324; % pixel
ys = [842.50       1126.50       1226.50];

L = 118; %mm (11.8cm)
mm_pixel = L/dx; %
deltas = ys*mm_pixel; %[mm]

Ns = grams*0.00980665; % N
% d = 3; % 3mm
d = 3; % 3mm
I = pi*d^4/64; %mm4
A = pi*d^2/4; %mm2

%delta = PL^3/3EI;
%E0 = 15.8 *1e3; %[MPa] +-4.2
E0 = (15.8-4.2) *1e3; %[MPa] 

delta1 = deltas(2)-deltas(1); % mm
delta2 = deltas(3)-deltas(1); % mm
E1 = Ns(2)*L^3/(3*delta1*I); %MPa
E2 = Ns(3)*L^3/(3*delta2*I); %Mpa

fprintf('original E: %.1f[GPa]\n',E0/1000);
fprintf('computed E1: %.1f[GPa]\n',E1/1000);
fprintf('computed E2: %.1f[GPa]\n',E2/1000);

maxQ = Ns(2);
maxTau = maxQ/A; % [MPa]
maxM = Ns(2)*L;
Z = pi*d^3/32;
maxSigma = maxM/Z; % [MPa]

fprintf('Max shear stress: %.1f[MPa]\n',maxTau);
fprintf('Max bending stress: %.1f[MPa]\n',maxSigma);

文献によれば竹のヤング率は15±4.2[GPa]とのこと。
detail.chiebukuro.yahoo.co.jp
http://www.aichi-inst.jp/sangyou/research/report/9K3.pdf

実行結果

original E: 11.6[GPa]
computed E1: 5.6[GPa]
computed E2: 5.5[GPa]
Max shear stress: 0.1[MPa]
Max bending stress: 26.2[MPa]

実測の直径3mmで計算すると、文献の下限値11GPaよりヤング率が低く出る。
直径を2.5mmでおいてみたところ、11GPaとなって文献値と一致した。
断面係数の減少により、このとき曲げ応力は45MPaとなった。

original E: 11.6[GPa]
computed E1: 11.7[GPa]
computed E2: 11.5[GPa]
Max shear stress: 0.1[MPa]
Max bending stress: 45.3[MPa]

以下、直径3mmで考える。以下の文献によれば、マダケの場合、曲げによる許容応力は長期で13MPa, 設計基準で39Mpaとなり、竹ひごの最大曲げ応力26Mpaは許容応力を超えていない。
仮に実際の直径が2.5mmだとすると、最大曲げ応力が45Mpaとなり、設計基準を超えていることになってしまう。一方で、材質が孟宗竹（強度がマダケの3倍）と仮定すると、設計基準応力が114MPaなので持ちこたえられることになる。結局竹ひごはマダケなのか孟宗竹なのかどっちなんだろう。
www.jstage.jst.go.jp