3変数の条件付き確率

統計学

http://math.stackexchange.com/questions/549887/bayes-theorem-with-multiple-random-variables

その１

P(X,Y|Z) = \frac{P(Y,Z|X)P(X)}{P(Z)}の証明
【証明】
X,Yを一塊と見て乗法公式→同時確率を考える
P(X,Y|Z)=\frac{P(Z,X,Y)}{P(Z)}
分子を以下の観点から変形
・同時確率は順番を変えても成り立つ
・乗法定理
P(Z,X,Y)=P(Y,Z,X)=P(Y,Z|X)P(X)
したがって
P(X,Y|Z) = \frac{P(Y,Z|X)P(X)}{P(Z)}

その２

P(X|Y,Z)=\frac{P(Z|Y,X)P(X|Y)}{P(Z|Y)}の証明
【証明】
乗法公式の逆（同時確率と条件付き確率の関係）
P(X|Y,Z) = \frac{P(X,Y,Z)}{P(Y,Z)}
順番を入れ替えた乗法公式を分子に適用
= \frac{P(Z|X,Y)P(X,Y)}{P(Y,Z)}
もう一度乗法公式を分子第二項と分母に適用
= \frac{P(Z|X,Y)P(X|Y)P(Y)}{P(Z|Y)P(Y)}
P(Y)を除して終わり
= \frac{P(Z|X,Y)P(X|Y)}{P(Z|Y)}