因子分析 - how to code something

主成分分析と同様に、（）をまとめる。
因子分析とは：統計的な現象の要因を少数の特定の共通因子に絞り込む
同一系列のコンビニ、A店とB店が次のような評価点(変量)を得たとする。
（※変量は標準化されているとする）

店品揃え( $z$ 品) 雰囲気( $z$ 雰) 親近感( $z$ 親) 広々感( $z$ 広)

1 $z_1$ 品 $z_1$ 雰 $z_1$ 親 $z_1$ 広

2 $z_2$ 品 $z_2$ 雰 $z_2$ 品 $z_2$ 広

...

k $z_k$ 品 $z_k$ 雰 $z_k$ 品 $z_k$ 広

...

n $z_n$ 品 $z_n$ 雰 $z_n$ 品 $z_n$ 広

店	品揃え( $z$ 品)	雰囲気( $z$ 雰)	親近感( $z$ 親)	広々感( $z$ 広)
1	$z_1$ 品	$z_1$ 雰	$z_1$ 親	$z_1$ 広
2	$z_2$ 品	$z_2$ 雰	$z_2$ 品	$z_2$ 広
...
k	$z_k$ 品	$z_k$ 雰	$z_k$ 品	$z_k$ 広
...
n	$z_n$ 品	$z_n$ 雰	$z_n$ 品	$z_n$ 広

これらの資料が２つの因子（ソフト因子 $f_s$ ,ハード因子 $f_H$ ）で
説明されると仮定する。
このとき、各店が有する２つの因子の値（因子得点）を以下のように表現する。

店ソフト因子ハード因子

1 $f_{1s}$ $f_{1H}$

2 $f_{2s}$ $f_{2H}$

…

k $f_{ks}$ $f_{kH}$

…

n $f_{ns}$ $f_{nH}$

店	ソフト因子	ハード因子
1	$f_{1s}$	$f_{1H}$
2	$f_{2s}$	$f_{2H}$
…
k	$f_{ks}$	$f_{kH}$
…
n	$f_{ns}$	$f_{nH}$

ここで、もとの変量が因子得点を基底とする線形結合＋α（＝独自部分）で書けるとする。
（因子得点にある重みをかけたものの和で変量が表現される。）
（この値を因子負荷量という）

変量ソフト因子ハード因子

品揃え( $z$ 品) $a$ 品 $_s$ $a$ 品 $_H$

雰囲気( $z$ 雰) $a$ 雰 $_s$ $a$ 雰 $_H$

親近感( $z$ 親) $a$ 親 $_s$ $a$ 親 $_H$

広々感( $z$ 広) $a$ 広 $_s$ $a$ 広 $_H$

変量	ソフト因子	ハード因子
品揃え( $z$ 品)	$a$ 品 $_s$	$a$ 品 $_H$
雰囲気( $z$ 雰)	$a$ 雰 $_s$	$a$ 雰 $_H$
親近感( $z$ 親)	$a$ 親 $_s$	$a$ 親 $_H$
広々感( $z$ 広)	$a$ 広 $_s$	$a$ 広 $_H$

共通因子だけで説明できない部分（独自部分）は以下のように表現できる。

店品揃え( $e$ 品) 雰囲気( $e$ 雰) 親近感( $e$ 親) 広々感( $e$ 広)

1 $e_1$ 品 $e_1$ 雰 $e_1$ 親 $e_1$ 広

2 $e_2$ 品 $e_2$ 雰 $e_2$ 品 $e_2$ 広

...

k $e_k$ 品 $e_k$ 雰 $e_k$ 品 $e_k$ 広

...

n $e_n$ 品 $e_n$ 雰 $e_n$ 品 $e_n$ 広

店	品揃え( $e$ 品)	雰囲気( $e$ 雰)	親近感( $e$ 親)	広々感( $e$ 広)
1	$e_1$ 品	$e_1$ 雰	$e_1$ 親	$e_1$ 広
2	$e_2$ 品	$e_2$ 雰	$e_2$ 品	$e_2$ 広
...
k	$e_k$ 品	$e_k$ 雰	$e_k$ 品	$e_k$ 広
...
n	$e_n$ 品	$e_n$ 雰	$e_n$ 品	$e_n$ 広

つまり、店kにおける変量は以下のように書ける。

$z_k$ 品 $= \Large{a}$ 品 $_S f_{kS} + a$ 品 $_H f_{kH} + e_k$ 品　　　　　　　　　　　　　　　　（A）

これの行列表現は、

$Z = F A^t + E$

Fを因子得点行列、Aを因子負荷行列と呼ぶ。
いま、次の条件を仮定する。
（１）各変量zが標準化されている（平均＝０、分散＝１）
（２）因子得点fが標準化されている（平均＝０、分散＝１）
（３）各因子（ソフト因子＆ハード因子）は互いに影響しない（共分散＝０）
すると、(A)式においてzの平均がゼロ、fの平均がゼロだから独自部分eの平均もゼロになる。
以上の仮定から、（A）式を用いると次の関係を得る。（詳細は割愛）

$a^2$ 品 $_S$ $+ a^2$ 品 $_H$ $+ v^2$ 品 $=1$