1次元ニュートンラフソン法による3次方程式の複素解の計算

$x^3+6x^2+21x+32=0$
カルダノの方法によって、解は
$x_1=-\sqrt[3]{9}+\sqrt[3]{3}-2$ =-2.637834253
$x_2= -\sqrt[3]{9}e^{\frac{2}{3}\pi i}+\sqrt[3]{3}e^{\frac{4}{3}\pi i}-2$ =1.6810829-3.0504302i
$x_3= -\sqrt[3]{9}e^{\frac{4}{3}\pi i}+\sqrt[3]{3}e^{\frac{2}{3}\pi i}-2$ =-1.6810829‐ +3.0504302i

xをzとおいた $f(z)=z^3+6z^2+21z+32$ は解析関数（微分可能な複素関数）なので、1次元ニュートンラフソン法でも複素解が計算できる。（一般的にf(z)が解析関数であるのはまれ）
初期値を複素数に置くのがミソ。初期値が実数（たとえばz(1)=0）だと実解に収束する。

clear; close all;

f = @(z) z^3+6*z^2+21*z+32;
dfdz = @(z) 3*z^2+12*z+21;

z=zeros(1,100);
z(1)=-1-3i;

delta=1e-10;
res=1e4;
k=2;
while res>delta
  z(k) = z(k-1) - f(z(k-1))/dfdz(z(k-1));    
  res = abs(f(z(k)));
  %disp(res);
  k = k+1;
end
disp(z(k-1));

計算結果

  -1.6811 - 3.0504i